Геометрична прогресия (PG)
Какво е геометрична прогресия (PG):
Това е числова последователност, в която всеки член, от втория, е резултат от умножението на предишния член с константа q, деноминирана като съотношение на PG.
Пример за геометрична прогресия
Числовата последователност (5, 25, 125, 625 ...) е нарастваща PG, където q = 5. Това означава, че всеки член на този PG, умножен по отношение на неговото съотношение ( q = 5), води до следващия термин.
Формула за намиране на съотношението (q) на PG
В PG (2, 6, 18, 54 ...) има константа ( q ) константа, която все още е неизвестна. За да го открием, трябва да вземем предвид условията на PG, където: (2 = a1, 6 = a2, 18 = a3, 54 = a4, ... an), прилагайки ги в следната формула:
q = a 2 / a 1
По този начин, за да намерим причината за тази ПГ, формулата ще бъде развита по следния начин: q = a 2 / a 3 = 6/2 = 3.
Съотношението ( q ) на горния PG е 3.
Тъй като съотношението на ПГ е постоянно, т.е. общо за всички термини, можем да работим с неговата формула с различни термини, но винаги да я разделяме с предшественика си. Като припомня, че съотношението на PG може да бъде всяко рационално число, с изключение на нула (0).
Пример: q = a 4 / a 3, което в горната част на PG също води до q = 3.
Формула за намиране на генералния термин на ПГ
Съществува основна формула за намиране на термин в PG. В случая на PG (2, 6, 18, 54, a n ...), например, където п, който може да бъде наречен като пети или n-ти термин, или 5, все още е неизвестен. За да намерите този или друг термин, се използва общата формула:
a n = a m ( q ) nm
Разработен е практически пример - Формула на общия термин на ПГ
Известно е, че :
a n е всяко неизвестно понятие, което може да бъде намерено;
a m е първият срок на PG (или всеки друг, ако първият срок не съществува);
q е съотношението на PG;
Следователно, в PG (2, 6, 18, 54, a n ...) където се търси петият член (a 5 ), формулата ще бъде разработена по следния начин:
a n = a m ( q ) nm
при 5 = 1 (q) 5-1
при 5 = 2 (3) 4
при 5 = 2.81
при 5 = 162
Така се установява, че петият член (a 5 ) на PG (2, 6, 18, 54, a n ...) е = 162.
Струва си да си припомним, че е важно да разберете причината, поради която ПГ може да намери неизвестен термин. В случая на PG по-горе, например, съотношението вече е известно като 3.
Геометрични класификации на прогресията
Геометрична прогресия на полумесец
За да може PG да се счита за нарастващо, неговото съотношение винаги ще бъде положително и неговите условия ще се увеличават, т.е. ще нарастват в рамките на числовата последователност.
Пример: (1, 4, 16, 64 ...), където q = 4
В възходящия PG с положителни термини q > 1 и с отрицателните числа 0 < q <1.
Геометрично намаляване на прогресията
За да може PG да се счита за намаляващо, неговото съотношение винаги ще бъде положително и ненулево, а неговите условия намаляват в числовата последователност, т.е. намаляват.
Примери: (200, 100, 50 ...), където q = 1/2
В намаляващия PG с положителни термини, 0 < q <1 и с отрицателни термини, q > 1.
Осцилираща геометрична прогресия
За да бъде PG се счита за осцилиращо, неговото съотношение винаги ще бъде отрицателно ( q <0) и неговите условия се редуват между отрицателни и положителни.
Пример: (-3, 6, -12, 24, ...), където q = -2
Постоянна геометрична прогресия
За да може PG да се смята за постоянна или стационарна, съотношението му винаги ще бъде равно на единица ( q = 1).
Пример: (2, 2, 2, 2 ...), където q = 1.
Разлика между аритметичната прогресия и геометричната прогресия
Подобно на PG, BP също е съставена от цифрова последователност. Обаче, термините на PA са резултат от сумата на всеки член с съотношението ( r ), докато термините на PG, както е илюстрирано по-горе, са резултат от умножението на всеки член с неговото съотношение ( q ) .
Пример:
В PA (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ...) съотношението ( r ) е 2. Това означава, че първият член се добавя към r 2 в следващия член и т.н.
В PG (3, 6, 12, 24, 48, ...) съотношението ( q ) също е 2. Но в този случай терминът се умножава по q 2, което води до следващия член и т.н.
Виж също значението на аритметичната прогресия.
Практическо значение на ПГ: къде може да се приложи?
Геометричната прогресия позволява анализ на спада или растеж на нещо. На практика PG позволява да се анализират, например, термичните вариации, нарастването на населението, наред с други видове проверки, присъстващи в нашето ежедневие.
